Ο μετασχηματισμός του Laplace, οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, ο μηχανιστικός τρόπος διδασκαλίας με «συνταγολόγια», και μια προσπάθεια διαφορετικής προσέγγισης…

 

 Θα έχετε ασφαλώς παρατηρήσει το πλήθος βιβλίων που κυκλοφορούν για διάφορα μαθήματα ή θέματα, στα οποία αναφέρεται στο εξώφυλλο η φράση:

“for scientists and engineers”

λες και το αντικείμενο του μηχανικού δεν είναι η περαιτέρω διερεύνηση στο χώρο της επιστήμης, παρά μόνο η στείρα εφαρμογή αυτής σε πρακτικό επίπεδο!

 Δε θα πρέπει να ξεχνάμε ότι η ανάγκη μας για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων μας οδήγησε μέχρι σήμερα σε μεγάλες ανακαλύψεις και εφευρέσεις.

 Η ανάγκη υπολογισμού του εμβαδού των επιπέδων σχημάτων μας οδήγησε στο ορισμένο ολοκλήρωμα, και το μήλο που έπεσε στο κεφάλι του Newton στο ρυθμό μεταβολής και στην έννοια της παραγώγου. Κατόπιν ανακαλύψαμε ότι οι δύο αυτές έννοιες είναι αντίστροφες...

 Για την άρδευση των καλλιεργειών έγινε το 2900π.Χ. το πρώτο φράγμα στην ιστορία της ανθρωπότητας. Σήμερα μιλάμε για τασικά πεδία και συναρτήσεις, για εδαφομηχανική και αντισεισμική τεχνολογία.

 Η ιστορία λοιπόν δείχνει ότι μηχανικός και επιστήμονας αποτελούν έννοιες αλληλοσυμπληρούμενες, και μάλιστα πως η μία γεννά την άλλη!

 Φαίνεται πως μερικοί δεν το γνωρίζουν αυτό, ή πως το έχουν ξεχάσει, με αποτέλεσμα να διδασκόμαστε κάποια πολύ ουσιαστικά μαθήματα, όπως οι συνήθεις διαφορικές, με τρόπο που θυμίζει συνταγή για να φτιάξεις γλυκό. Χωρίς να μας αναλύσουν τί είναι και πως προκύπτει ο μετασχηματισμός Laplace, μας εξήγησαν μόνο ένα μέρος της φυσικής του σημασίας, και με το πρόσχημα ότι: «...σαν μηχανικούς σας ενδιαφέρει μόνο το να γνωρίζετε πως εφαρμόζεται...», μας δώσανε κάτι πίνακες με τις «μετασχηματισμένες» και τις «αντίστροφές» τους, και μας είπαν «γράφ’τε»!

 Συν τοις άλλοις, προστίθεται και μια πληθώρα ελλειπών και κακογραμμένων «εντύπων», όχι μόνο ως προς το περιεχόμενο, αλλά και ως προς τη χρησιμοποιούμενη γλώσσα! Οδηγούμαστε έτσι σε ένα όχι και τόσο «ορθά» εφαρμοσμένο πρόγραμμα σπουδών, το οποίο σε πολλά σημεία δεν καταφέρνει να δώσει στο φοιτητή τη βαρύτητα της διδακτέας ύλης, όπως θα περίμενε κανείς από ένα πολυτεχνείο όπως το ΕΜΠ...

 Σε μια προσπάθεια κατανόησης της μεθόδου Laplace για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, επιχειρείται παρακάτω με τη χρήση απλών ολοκληρωμάτων και της μαθηματικής επαγωγής, η λύση της γενικής μορφής μιας διαφορικής εξίσωσης n-τάξης με σταθερούς συντελεστές. Στα επίμαχα σημεία, προσπαθώ με απλή λογική να δώσω το σκεπτικό που ίσως ακολούθησε ο Laplace για να καταλήξει σε αυτό το μετασχηματισμό. Μερικοί από τους τύπους στους οποίους καταλήγω, είναι χρήσιμοι για εφαρμογές σε Η/Υ.

 Σε όσους δεν αρκούνται σε «συνταγολόγια», και επιθυμούν να προσεγγίσουν περισσότερο το λογισμό πάνω στις διαφορικές εξισώσεις, αφιερωμένο εξαιρετικά...

 

 

Θόδωρος Πάτσιος

(6ο εξάμηνο Πολ.Μηχ/κών)

Μάϊος 2002

 

 

 -Έστω η ακόλουθη διαφορική εξίσωση (Δ.Ε.), με σταθερούς συντελεστές , όπου i=1,2,3,…,(n-2),(n-1),n, , και η συνάρτηση g(x) γνωστή :

 

  (1)

-Για την εύρεση των λύσεων της παραπάνω Δ.Ε., στηριζόμαστε στο σκεπτικό επίλυσης μιας απλούστερης εξίσωσης, όπως είναι η:

Ένας τρόπος για την επίλυση της προηγούμενης είναι να πολλαπλασιάσουμε με  και στη συνέχεια να ολοκληρώσουμε ως προς dx :

Σημειώνεται ότι για την επίλυση της προηγούμενης κάναμε χρήση της παραγοντικής ολοκλήρωσης.

-Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν την (1) με ,όπου  και έχουμε :

 

-Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε ως προς dx σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όπου :

 

-Χάριν απλότητος της παρουσίασης,χωρίζουμε το κλειστό [α,β] σε δύο διαστήματα [α,0] και [0,β],και εργαζόμαστε στο καθένα χωριστά για την εύρεση της λύσης.

-Για το διάστημα [0,β], η προηγούμενη εξίσωση λαμβάνει την ακόλουθη μορφή:

 

 (2)

 

-Από τα παραπάνω ολοκληρώματα που περιλαμβάνονται στην εξίσωση (2), το μόνο που μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα, είναι αυτό του δευτέρου μέλους, που περιλαμβάνει την  g(x), της οποίας η αναλυτική έκφραση μας είναι εξ’υποθέσεως γνωστή :

 

Θα υπολογίσουμε λοιπόν την τιμή του ολοκληρώματος . Η g(x) είναι εξ’υποθέσεως γνωστή συνάρτηση. Χωρίς βλάβη της γενικότητος, μπορούμε να θεωρήσουμε μια απλή συνάρτηση, δηλαδή: g(x)=x+1. Τότε το ολοκλήρωμα G γίνεται:

Εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση,καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα:

 

Έχουμε λοιπόν μια συνάρτηση G(s,β). Είναι φανερό πως η παραπάνω μορφή είναι αρκετά δύσχρηστη. Μια σκέψη θα ήταν να απαλείψουμε μια από τις δύο μεταβλητές. Παρατηρώντας ότι οι παραστάσεις που περιέχουν το β είναι συνθετότερες, και άρα πιο δύσχρηστες, καταλήγουμε στο ότι ένας τρόπος θα ήταν να θεωρούσαμε τα όρια των παραστάσεων:

, και , για

Σκεπτόμενοι απλοποιητικά, μπορούμε να πούμε ότι αυτή η απαλοιφή του β που θα κάνουμε δεν είναι τίποτε άλλο από μια αλλαγή μεταβλητής (το πεδίο ορισμού της f δεν αλλάζει), ένα τέχνασμα που εφαρμόζεται στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων.

 

Έχουμε:

· 

 

-Σημειώνεται ότι για την άρση της απροσδιοριστίας του παραπάνω ορίου κάναμε χρήση του κανόνα    De lHospital.

· 

 

Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση:

,

που με βάση τα προηγουμένως υπολογισθέντα όρια θα είναι: .

 

 

 

-Επιστρέφουμε τώρα στην Δ.Ε. της οποίας τη λύση αναζητούμε. Τα ορισμένα ολοκληρώματα της εξίσωσης (2) είναι συναρτήσεις δύο μεταβλητών, των β και s. Με το ίδιο σκεπτικό που εφαρμόσαμε για την απλούστευση της αναλυτικής έκφρασης της g(x), δηλαδή την απαλοιφή της μεταβλητής β, λαμβάνουμε τα όρια των ορισμένων ολοκληρωμάτων για και στην εξίσωση (2). Υπό την υπόθεση ότι τα επιμέρους όρια της μορφής , (όπου i η τάξη της παραγώγου της f(x) που περιέχεται στο ολοκλήρωμα) είναι πραγματικοί αριθμοί, η (2) θα γράφεται:

 

 

Ή αλλιώς (με τη μορφή γενικευμένων ολοκληρωμάτων) :

 

 

-Όπως δείξαμε προηγουμένως, το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους είναι άμεσα υπολογίσιμο. Τα ολοκληρώματα όμως που περιέχουν την f(x) και τις παραγώγους της δεν είναι άμεσα υπολογίσιμα. Μια σκέψη θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε την παραγοντική ολοκλήρωση, όπως κάναμε στην επίλυση της εξίσωσης f’(x)+f(x)=0, απαλείφοντας την f’(x). Στην προκείμενη περίπτωση, θα πρέπει να γενικεύσουμε την παραγοντική ολοκλήρωση, ώστε αυτή να ισχύει και για τα γενικευμένα ολοκληρώματα:

 

Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις u(x),q(x), ορισμένες στο διάστημα [0,+¥). Αν τα ολοκληρώματα  υπάρχουν, τότε θα ισχύει :

*

 

Στην περίπτωση που ισχύει , η παραγοντική ολοκλήρωση διατυπώνεται ως εξής:

 

 

ή αλλιώς:

  (3)

 

Σ’αυτό το σημείο πρέπει να δοθεί έμφαση στους περιορισμούς της παραπάνω πρότασης:

·        Υποθέσαμε οτί τα ολοκληρώματα  υπάρχουν, γεγονός που τελικώς ισχύει, αφού υπάρχει -και είναι πραγματικός αριθμός- το ολοκλήρωμα G(s) του δευτέρου μέλους, το οποίο και υπολογίσαμε. Αφού λοιπόν το άθροισμα των επιμέρους ορίων του πρώτου μέλους ισούται με έναν πραγματικό αριθμό, τότε και τα επιμέρους όρια υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί.

·        Για την επίλυση του προβλήματός μας, θεωρήσαμε επίσης οτί ισχύει και:

 

 (Α)

 

 

Άν στη σχέση (3) θέσουμε  και , θα έχουμε:

 (α)

 

Άν τώρα στη σχέση (3) θέσουμε  και , θα έχουμε:

        (α’)

 

Αντικαθιστώντας στην (α’) την (α),λαμβάνουμε:

 

 (β)

 

Τέλος, θέτοντας στην (3) και , και με τη βοήθεια της σχέσης (β) λαμβάνουμε:

 

 (γ)

 

Για καθεμιά από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε υποθέσει οτί ισχύει ο περιορισμός (Α), ο οποίος γράφεται ως εξής σε κάθε περίπτωση:

·        Για τη σχέση (α) :

·        Για τη σχέση (β):

·        Για τη σχέση (γ):

 

-Από τις σχέσεις (α),(β),(γ), παρατηρούμε πως τα ολοκληρώματα  των παραγώγων της f(x), (όπου i=1,2,3,…,(n-2),(n-1),n) , εκφράζονται ως συνάρτηση του s, των τιμών των , και του ολοκληρώματος:

 

-Επομένως, εάν γνωρίζουμε τις τιμές των , μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα ολοκληρώματα της μορφής , i=1,2,3,…,(n-2),(n-1),n, , που περιέχουν τις παραγώγους  i–τάξης της f(x), συναρτήσει του ολοκληρώματος  .

Σε ό,τι αφορά τις τιμές των ,αυτές θα καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος. Ας μην ξεχνάμε οτί οι εξισώσεις αυτές λύνουν πρακτικά προβλήματα...

-Με βάση τις σχέσεις (α),(β) και (γ), μπορούμε να προσδιορίσουμε τον επαγωγικό τύπο που θέλουμε:

 

(Β)

 

To i στον παραπάνω τύπο εκφράζει την τάξη της παραγώγου της f, της οποίας το ολοκλήρωμα θέλουμε να υπολογίσουμε. Προσοχή στο οτί παραλείπονται οι όροι στους οποίους οι εκθέτες του s γίνονται μικρότεροι του μηδενός για την τρέχουσα τιμή του i που θέτουμε.

 

-Κάνοντας εφαρμογή των παραπάνω αποτελεσμάτων για n=3 στην εξίσωση (1), θα προσπαθήσουμε να εξάγουμε μια περαιτέρω γενίκευση:

 

 

Με βάση τις (α),(β),(γ), η προηγούμενη γράφεται:

 

Ή αλλιώς:

 

*

 

-Πλέον, έχουμε ανάγει το πρόβλημά μας στην εύρεση του F(s), καθ’ότι από την προηγούμενη εξίσωση στην οποία καταλήξαμε, ο μόνος άγνωστος είναι το F(s).

(αφού οι τιμές της f(x) και των παραγώγων της για x=0 δίνονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, ενώ το ολοκλήρωμα G(s) μπορεί να άμεσα να υπολογισθεί).

 

Παρατήρηση:   Από την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να εξάγουμε έναν γενικό τύπο που θα μας δίνει τη λύση για οποιαδήποτε τιμή του n. Αυτός θα είναι:

 

 

Και αν επιλύσουμε τoν παραπάνω τύπο ως προς F(s), θα έχουμε:

 

 

 (4)

 

όπου το P(s) ισούται με:

 

 

 

Γενικεύοντας τώρα και τον περιορισμό (Α) για n – οστού βαθμού εξισώσεις, θα έχουμε:

 

, και ,

όπου i=1,2,3,…,(n-2),(n-1),n είναι η τάξη της παραγώγου της f(x)

 

-Η σημαντικότερη όμως δυσκολία που καλούμαστε να αντιμετωπίσουμε σε αυτό το σημείο, αφού θα έχουμε επιλύσει τη γραμμική εξίσωση ως προς F(s), είναι ότι θα πρέπει να βρούμε τελικώς τον τύπο της f(x), έχοντας ως μόνο δεδομένο τον «μετασχηματισμό» της, δηλαδή το ολοκλήρωμα , το οποίο είναι μια συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το.

 

-Ένας προφανής τρόπος λύσης είναι η σύνταξη πινάκων, στους οποίους θα περιέχονται υπολογισμένα ολοκληρώματα της μορφής:

 ,

όπου η q(x) αντιπροσωπεύει τις συνήθεις συναρτήσεις (πολυωνυμικές, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές κλπ).

 

-Με τη βοήθεια αυτών των πινάκων, θα μπορεί κανείς να προσδιορίζει τον αναλυτικό τύπο της f(x), ο οποίος μπορεί να είναι ίδιος με αυτόν κάποιας συνήθους συνάρτησης, ή να αποτελεί συνδυασμό περισσοτέρων τύπων απλών συναρτήσεων. Αυτοί οι πίνακες ονομάζονται πίνακες των μετασχηματισμένων κατά Laplace

 

-Τέλος, οφείλουμε να διερευνήσουμε τί συμβαίνει για τις διάφορες τιμές των ορίων του περιορισμού (Α):

 

Γενικά, αν το όριο:

είναι ένας αριθμός ,τότε η εξίσωση (3) θα γράφεται ως εξής:

 (3’)

 

-Αν ίσχυε για παράδειγμα ,τότε οι μετασχηματισμένες θα γράφονταν ως εξής:

 

 

-Δηλαδή σε κάθε μετασχηματισμένη θα προσθέταμε ένα υπόλοιπο ,όπου i  η τάξη της παραγώγου, της οποίας τη μετασχηματισμένη υπολογίζουμε.

-Κατά συνέπεια, ο γενικός τύπος (4) θα γραφόταν ως εξής:

 

 

   (4’)

 

-όπου στο P(s) θα είχε προστεθεί το υπόλοιπο:

 

 

Δηλαδή:

 

 

-Αν όμως ήταν κάποιο άλλο όριο, για παράδειγμα το , τότε μόνο οι μετασχηματισμένες των παραγώγων που θα ήταν τάξεως μεγαλύτερης του i θα επηρρεάζονταν.

 

-Πρακτικά, αυτό σημαίνει οτί στο υπόλοιπο R(s), οι όροι για  θα παραλείπονταν, ενώ οι υπόλοιποι θα εκφράζονταν συναρτήσει του i, δηλαδή το R(s) θα γραφόταν ως εξής:

 

 (5)

 

 

-Βλέπουμε λοιπόν οτί από την υπόθεση οτί κάποιο από τα όρια  μπορεί να είναι διάφορο του μηδενός, προκύπτει ένας διαφοροποιημένος τύπος από τον (4), στον οποίο καταλήξαμε αρχικά. Αντίστοιχη γενίκευση μπορεί να γίνει και για την περίπτωση που περισσότερα του ενός όρια είναι διάφορα του μηδενός. Για το σχηματισμό του γενικού τύπου, θα χρησιμοποιούσαμε ως βάση τη σχέση (5), και στον τελικό τύπο, αντίστοιχο του (4’), θα προσθέταμε στο P(s) τόσα υπόλοιπα, όσα τα όρια που θα ήταν διάφορα του μηδενός.

 

-«Παρατηρήσεις» :

 

Επειδή όμως το όριο , και για το ολοκλήρωμα θα είναι .

 

Εφ’όσον όμως το ολοκλήρωμα G(s) είναι όπως αποδείξαμε πραγματικός αριθμός,τότε κανένα από τα ολοκληρώματα του πρώτου μέλους δεν μπορεί να είναι  ή , γιατί καταλήγουμε σε άτοπο.

 

 

Μαρούσι,22-5-2002

 

Θόδωρος Πάτσιος

6ο εξάμηνο Πολιτικών Μηχανικών

e-mail: cv99136@central.ntua.gr

-Για οποιαδήποτε παρατήρηση ή σχόλιο, παρακαλώ στείλτε μου ένα mail στην παραπάνω ηλεκτρονική διεύθυνση!